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2.1.1.    Propagação em espaço livre - Visibilidade

  Essa é a situação básica de propagação, segundo a qual transmissor e receptor estão imersos em um espaço livre de obstruções em qualquer direção e o campo elétrico é calculado em um ponto qualquer de observação. O mecanismo de propagação envolvido é o de propagação em visibilidade. Embora a propagação em espaço livre seja uma situação bastante particular, o seu entendimento e cálculo são úteis para que se desenvolva expressões mais complexas e que possam melhor definir a propagação em diferentes ambientes e para diferentes sistemas (como os celulares). Além disso, sua expressão pode servir como uma base de comparação com expressões mais complexas e realistas.

  A perda (atenuação) de propagação é determinada pela relação entre a potência recebida e a potência transmitida. Inicialmente, será calculada a perda de propagação entre antenas isotrópicas (irradiação uniforme em todas as direções) e, posteriormente, será inserido o ganho das antenas.

  A densidade de potência calculada a uma distancia d (em campo distante) do transmissor isotrópico é dada pela expressão (3-4), onde o ganho G_T é igual à unidade. A potência recebida é calculada da forma já mostrada no desenvolvimento da expressão (3-6). Aqui, no cálculo da área efetiva de recepção, o ganho G_R é também igual à unidade. Então:

                                                                                   (3-7)

  Expressando o resultado em decibéis:

   (3-8)

  Apresentando o resultado em unidades mais convenientes à faixa de freqüências utilizada (sistemas celulares e PCS - Personal Communication Systems) e às dimensões usuais das células, para sistemas celulares :

                                                                                                        (3-9)

  Essa é, portanto, a atenuação de propagação considerando-se as antenas transmissora e receptora isotrópicas (irradiação igual em todas as direções), chamada atenuação (ou perda) básica de transmissão em espaço livre. Quando se considera os ganhos das antenas :

                                                                                (3-10)

  A expressão (3-10) é denominada Fórmula de Friis. Calculando em decibéis, por procedimento idêntico ao adotado na obtenção da expressão (3-9), chega-se a :

                  (3-11)

            onde :

dBi  -  ganho, em dB, em relação ao ganho da antena isotrópica (unitário)

  A expressão (3-11) fornece a perda (ou atenuação) de transmissão em espaço livre.

2.1.2.    Reflexão sobre Terra Plana (expressão de dois raios)

  Para se chegar a expressões de atenuação de propagação que melhor descrevam as situações reais encontradas, vai-se acrescentando complexidade ao problema inicial (espaço livre), obtendo-se expressões teóricas que retratam os novos mecanismos considerados. O primeiro procedimento, e o mais intuitivo, é o de se considerar a influência da superfície da Terra na propagação. A faixa de freqüências aqui enfatizada (UHF) e as distâncias envolvidas (nos sistemas atuais, tipicamente menores que 15 km) permitem que a Terra seja considerada plana na maior parte das regiões sem a introdução de erros significativos, para efeito de reflexão no solo.

  Durante a propagação do sinal, os raios oriundos da antena transmissora sofrem, em geral, inúmeras reflexões até chegarem à antena receptora. O tratamento inicial dado à questão da reflexão considera a Terra Plana. Isso pode ser feito pela análise da solução de Norton para este problema. A Figura 3-2 ilustra os mecanismos de propagação que dão origem à solução de Norton.

Figura 3-2  -  Reflexão sobre Terra Plana

  Pela solução de Norton chegam três ondas ao receptor: onda do raio direto, onda do raio refletido na Terra Plana e a onda de superfície.  É importante ressaltar que essa solução é válida apenas quando a distância horizontal entre transmissor e receptor é muito maior que o comprimento de onda (l), e quando o índice de refração da Terra (proporcional a k₁ , o número de onda na Terra) é muito maior que o índice de refração no espaço livre (proporcional a k₀ , o número de onda no espaço livre). A expressão da solução de Norton é a seguinte: ^[2]

  ;   d >> l   e   k₁ >> k₀                (3-12)

O primeiro termo da expressão é referente ao raio direto, correspondendo à Fórmula de Friis vista na propagação em espaço livre. Esse resultado é esperado, uma vez que na propagação em espaço livre, a onda que chega ao receptor é de um raio direto (propagação sem intervenção de nenhum obstáculo), exatamente como representado no primeiro termo da expressão de Norton. O segundo termo é referente ao raio refletido em Terra Plana. O coeficiente de reflexão (R) é dependente do ângulo q_i e da relação entre k₁ e k₀ ; e a fase Dj é proporcional à diferença de percurso entre o raio direto e o raio refletido.

  O coeficiente de reflexão no solo, R, é dado pelas seguintes expressões: ^[6]

                                                                (3-13)

onde :

índices V e H  -  referem-se às componentes do campo elétrico incidente em relação ao plano de incidência. O plano de incidência é o plano formado pelo raio incidente e a normal à superfície de reflexão (Terra Plana, nesse caso) no ponto de incidência.

R_V  -  coeficiente de reflexão de Fresnel, para a componente vertical (também denominado componente hard)

R_H  -  coeficiente de reflexão de Fresnel, para a componente horizontal (também denominado componente soft)

                                                                                    (3-14)

permissividade elétrica complexa (efetiva) relativa da superfície da Terra.

com :

e  -  permissividade elétrica da superfície refletora [F/m]

s  -  condutividade da superfície refletora [Siemens/m]

w = 2pf  -  freqüência angular [rad/s]

f  -  freqüência [Hz]

e_0­ = 8,854x10^-12  -  permissividade elétrica no vácuo [F/m]

q_i  -  ângulo de incidência, formado entre o raio incidente e a normal no ponto de incidência (Figura 3-2)

Uma observação a respeito dos coeficientes de reflexão é que, para uma faixa muito grande de valores de q_i , tem-se : ^[1]

R_H (q_i) @ -1  ,  ou seja, a componente horizontal do campo elétrico refletido mantém o módulo e sofre inversão de 180⁰ na fase, em relação ao campo incidente

  Esse valor só se altera de forma significativa para freqüências muito altas e terra de pobre condutividade. Se q_i é muito grande (incidência rasante), então R_V @ R_H @ -1, pois, observando-se as expressões   (3-13), quando q_i cresce muito, cos(q_i) tende a zero e R_V,H tendem a -1. Mas, para outros valores de q_i , o comportamento de R_V difere do comportamento de R_H (R_V não tende a -1 para um ampla faixa de valores de q_i , como ocorre com R_H). A Tabela 3-2 apresenta alguns valores de condutividade e de permissividade elétrica relativa, para algumas superfícies. ^[1]

Tabela 3-2  -  Alguns valores típicos de s e e_r

  O terceiro termo da expressão de Norton representa a onda de superfície. A função F(w) é a função de atenuação da onda de superfície e é ela que define sua intensidade. Essa função diminui de intensidade com o aumento da freqüência e com o afastamento do ponto de observação (recepção) em relação ao transmissor. Na faixa de freqüências tratada (UHF), o efeito da onda de superfície pode ser desprezado. Então, se simplificarmos a expressão (3-12), através da supressão do termo de onda de superfície, considerarmos os coeficientes de reflexão iguais a -1 (o que é válido, como visto, para incidência rasante) e, se a distância d for muito maior que h_T + h_R (soma das alturas da antena transmissora e receptora, respectivamente), a potência recebida pode ser obtida da seguinte maneira.

  Diferença de fase entre raio direto (R₁) e todo o percurso de reflexão (R₂) :

                                                                                     (3-15)

(essa expressão é geral e independe das condições assumidas no parágrafo anterior, naturalmente)

  Pode-se demonstrar que, se a condição de d >> (h_T + h_R) é atendida :

                                                                                                           (3-16)

  Com as condições assumidas e algum tratamento algébrico, a expressão (3-12) toma a seguinte forma :

                                                                               (3-17)

  Levando a expressão   (3-16) em (3-17), obtém-se :

                                                                       (3-18)

  E a expressão de potência recebida fica :

                                                                   (3-19)

         O gráfico referente à expressão (3-19) é apresentado na Figura 3-3 a seguir.

  Figura 3-3  -  Gráfico de atenuação por Terra Plana (2 raios)

  A expressão (3-19) pode sofrer uma outra simplificação se, além das condições já impostas, garantirmos que sen(Df/2) @ Df/2. Esta situação ocorre quando a incidência é de tal maneira rasante que a diferença de percurso, e portanto de fase, entre o raio direto e o raio refletido é muito pequena. Essa aproximação é válida a partir de determinada distância em relação ao transmissor, como será apresentado adiante. Através da aproximação

                                                                    (3-20)

  e como, pela expressão (3-12),  , pode-se escrever

    ,  para  < 0,3 radianos (aproximadamente)

                                                                                                                                  (3-21)  

Inserindo o resultado (3-21) em (3-19), obtém-se :

                                                                                    (3-22)

  Essa é a expressão de potência recebida na propagação em Terra Plana, usada quando são válidas as aproximações feitas. A expressão de atenuação de propagação L correspondente é calculada a seguir.

                                                                                         (3-23)

Em decibéis :

             (3-24)

  A expressão (3-24) fornece a atenuação de propagação de Terra Plana, que se aproxima do valor exato quando as condições assumidas nas aproximações são satisfeitas. Demonstra-se que a distância d a partir da qual é válida a aplicação de (3-24) é :

                                                                                                               (3-25)

  Essa distância corresponde ao último máximo do gráfico da Figura 3-3 , que ocorre, segundo ), na distância aproximada de 6 km. A partir desse ponto, a queda do campo com a distância se aproxima a 1/d⁴ .

  O que é interessante de se observar na expressão de atenuação em Terra Plana é a sua independência com a freqüência e a dependência com a distância através de uma fator 4 (10log(d⁴)), em contraste com a dependência através de um fator 2 (10log(d²)) encontrada na propagação em espaço livre (onde o único mecanismo é o de visibilidade).

  A expressão obtida tem aplicação limitada a regiões de relevo relativamente plano e com poucas construções (espaços amplos e abertos, típicos de regiões rurais). A análise da reflexão em Terra Plana acima realizada, considera a superfície refletora como sendo lisa. A reflexão é dita especular, e a direção da onda refletida é única e bem definida pelo ângulo entre a onda incidente e a normal à superfície refletora, através da Lei de Snell da reflexão.

  Se a superfície refletora não é lisa, a onda refletida não possuirá direção única. O que ocorre é um espalhamento (difusão) da energia incidente, em várias direções, causado pela irregularidade (rugosidade) da superfície refletora. A Figura 3-4 ilustra o espalhamento de uma frente de onda plana (representada pelos raios incidentes paralelos) refletida em uma superfície rugosa.

 Figura 3-4  -  Reflexão em superfície rugosa (espalhamento)

    Observa-se na Figura 3-4 que, embora a lei de reflexão continue válida (ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão), como a superfície é irregular, haverá inúmeros ângulos de incidência, distribuídos de maneira desordenada, dando origem a inúmeros ângulos de reflexão. Isso constitui o espalhamento da energia. O efeito prático da reflexão assim gerada (reflexão difusa) é que menos energia será acoplada ao receptor. Foi desenvolvido um critério prático para a avaliação da rugosidade de uma superfície. Seja a Figura 3-5 a seguir.^{[1], [8]}

Figura 3-5  -  Determinação da diferença de fase entre raios refletidos em superfície rugosa

  Demonstra-se que a diferença de comprimento entre os dois percursos, (AB + BC) e (A’B’ + B’C’) é dada por :

                                                                        (3-26) 

A diferença de fase entre os percursos será, então :

                                                                          (3-27)

  Se d << l, Df é pequeno e pode-se considerar a superfície como sendo lisa. O critério prático consiste em assumir que a superfície é rugosa quando Df ³ p/2 , o que leva a :

  , conhecido por Critério de Rayleigh                                                      (3-28)

  Ou, se y é suficientemente pequeno : seny @ y, que leva o critério a ser expresso por .

  A rugosidade é, portanto, determinada pela diferença de fase entre raios que atingem diferentes pontos da superfície (com elevações distintas), conforme a Figura 3-5 ilustra. Dessa forma, o espalhamento da energia está sendo analisado através da diferença de fase entre raios. Quanto menor a diferença (determinada pela relação entre o desnível d e o comprimento de onda l), mais lisa é a superfície e menor será o espalhamento por ela causado. O que ocorre na prática é que, pela característica irregular do perfil das rugosidades, o desnível d é tratado como uma variável aleatória e o seu desvio padrão s_h passa a ser a medida de quão acentuada é a rugosidade da superfície.

  Substituindo d por s_h na expressão (3-27), é definido o parâmetro C.

                                                                             (3-29)

Para Y pequeno :                                                                   (3-30)

Um critério usual é o seguinte :

C < 0,1  ®  superfície lisa;

C > 10   ®  superfície muito rugosa, de forma que o espalhamento é tão grande que pode-se desconsiderar a componente refletida, pois é desprezível a energia acoplada ao receptor através de reflexão.

Para valores de C entre 0,1 e 10, é definido o coeficiente de espalhamento: , obtido empiricamente. O coeficiente de reflexão especular é então corrigido pelo coeficiente de espalhamento, resultando no coeficiente de reflexão especular a ser usado :

                                                                                       (3-31)